📐 高中數學課程學習指南

第一章：數與式基礎

1.1 實數與有理數

實數（Real Numbers）：包含有理數和無理數的所有數
有理數（Rational Numbers）：可表示為分數 p/q（q≠0）的數
無理數（Irrational Numbers）：無法表示為分數的數，如 π、√2

1.2 絕對值

|x| = { x, if x ≥ 0 { -x, if x < 0

性質：
• |x| ≥ 0 對所有實數 x 成立
• |x·y| = |x|·|y|
• |x/y| = |x|/|y|（y≠0）
• |x + y| ≤ |x| + |y|（三角不等式）

1.3 算術平均與幾何平均

算術平均：A = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n
幾何平均：G = ⁿ√(a₁ × a₂ × ... × aₙ)

算幾不等式：對於正實數 a₁, a₂, ..., aₙ
A ≥ G，當且僅當所有數相等時等號成立

1.4 比與比例

a:b = c:d ⟺ ad = bc
a/b = c/d ⟺ ad = bc

第二章：多項式函數中等

2.1 多項式基本概念

多項式：P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
次數：n（最高次方項的係數）
係數：aₙ, aₙ₋₁, ..., a₀

2.2 綜合除法

P(x) = (x - c)·Q(x) + R
其中 Q(x) 為商式，R 為餘數

2.3 因式分解定理

Factor Theorem：
(x - c) 是 P(x) 的因式 ⟺ P(c) = 0
根：使 P(x) = 0 的 x 值

2.4 二次函數

f(x) = ax² + bx + c

頂點：x = -b/(2a)
對稱軸：x = -b/(2a)
極值：f(-b/(2a)) = (4ac - b²)/(4a)

例題

求 f(x) = 2x² - 8x + 6 的頂點與極值

解：x = 8/(2×2) = 2
f(2) = 2(4) - 8(2) + 6 = -2
頂點(2, -2)，最小值為 -2

第三章：指數與對數函數中等

3.1 指數函數

f(x) = aˣ（a > 0, a ≠ 1）

性質：
• aˣ > 0 對所有 x 成立
• a⁰ = 1
• aˣ⁺ʸ = aˣ · aʸ
• (aˣ)ʸ = aˣʸ

3.2 對數函數

y = logₐx ⟺ aʸ = x（a > 0, a ≠ 1, x > 0）

性質：
• logₐ1 = 0
• logₐa = 1
• logₐ(xy) = logₐx + logₐy
• logₐ(x/y) = logₐx - logₐy
• logₐ(xᵏ) = k·logₐx

3.3 常用對數與自然對數

常用對數：log₁₀x，簡寫為 log x
自然對數：ln x = logₑx（e ≈ 2.71828）
換底公式：logₐb = log b / log a

第四章：數列與級數中等

4.1 等差數列

a, a+d, a+2d, a+3d, ...

第 n 項：aₙ = a + (n-1)d
和：Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × [2a + (n-1)d]

4.2 等比數列

a, ar, ar², ar³, ...

第 n 項：aₙ = a·rⁿ⁻¹
和：Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r)（r ≠ 1）
無窮級數和：S = a/(1-r)（|r| < 1）

4.3 遞迴關係

費波那契數列：
F₁ = 1, F₂ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂（n ≥ 3）
前幾項：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

第五章：排列組合進階

5.1 乘法原理

若完成一件事需經過 k 個步驟，
各步驟分別有 n₁, n₂, ..., nₖ 種方法，
則完成這件事共有 n₁ × n₂ × ... × nₖ 種方法

5.2 排列（Permutation）

P(n,r) = n! / (n-r)!

從 n 個不同物體中選取 r 個排成一列的方法數

5.3 組合（Combination）

C(n,r) = n! / [r!(n-r)!] = (n choose r)

從 n 個不同物體中選取 r 個（不考慮順序）的方法數

5.4 二項式定理

(a + b)ⁿ = Σ(k=0 到 n) C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ

展開係數：1, n, n(n-1)/2!, n(n-1)(n-2)/3!, ...

第六章：機率與統計中等

6.1 樣本空間與事件

樣本空間（S）：所有可能結果的集合
事件（A）：樣本空間的子集
機率：P(A) = |A| / |S|（古典機率）

6.2 條件機率

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

6.3 期望值

E(X) = Σ(xᵢ · pᵢ)

隨機變數 X 的期望值等於各值乘以其機率的總和

6.4 統計量

平均數：μ = Σxᵢ / n
標準差：σ = √[Σ(xᵢ - μ)² / n]

第七章：三角函數進階

7.1 三角函數定義

在直角三角形中：
sin θ = 對邊 / 斜邊
cos θ = 鄰邊 / 斜邊
tan θ = 對邊 / 鄰邊

7.2 三角函數基本恆等式

sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ

sin(2θ) = 2sinθcosθ
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)

7.3 正弦與餘弦定理

正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

餘弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC

第八章：平面與空間向量中等

8.1 向量基本運算

向量 a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)

加法：a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂)
減法：a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂)
純量乘法：k·a = (ka₁, ka₂)

8.2 內積（點積）

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

幾何意義：|a||b|cosθ
垂直條件：a · b = 0

8.3 外積（叉積）- 空間向量

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

幾何意義：垂直於 a 和 b 的向量，大小為 |a||b|sinθ

第九章：圓與直線中等

9.1 直線方程式

點斜式：y - y₁ = m(x - x₁)
斜截式：y = mx + b
兩點式：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)
一般式：Ax + By + C = 0

9.2 圓方程式

標準式：(x - h)² + (y - k)² = r²
圓心：(h, k)，半徑：r

一般式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

9.3 點到直線距離

點 (x₀, y₀) 到直線 Ax + By + C = 0 的距離：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

第十章：二次曲線進階

10.1 拋物線

標準式：y = ax² + bx + c
焦點：(h, k + 1/(4a))
準線：y = k - 1/(4a)

10.2 橢圓

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a > b）
焦點：(h±c, k)，c = √(a² - b²)

10.3 雙曲線

(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1
漸近線：y - k = ±(b/a)(x - h)